WWW. El origen de los números primos.



Un número primo (p) es un número natural que sólo es divisible por 1 y por él mismo, el resto se denomina compuesto. Por ejemplo, 5 es primo porque sólo es divisible por 1 y 5 (5:1= 5; 5:5= 1). Así ocurre con 7, 11, 13 y muchos otros. Sin embargo, el 6 es compuesto porque es divisible por 1, 2, 3 y 6, o sea, tiene otros divisores diferentes de 1 y 6; por esta misma razón 4, 9, 10, 12, etc. son también números compuestos. Aunque la distribución global de los números primos sigue una ley bien definida, su origen y comportamiento individual fue (hasta ahora) azaroso e impredecible. Sin embargo, no es el azar el que determina el origen y comportamiento individual de estos números, sino una ley que garantiza un orden preciso. En este artículo se explica el origen de los números primos, la ley que determina la sucesión individual, así como distintos métodos para encontrarlos sin recurrir a los criterios de primalidad ó divisibilidad.




Existen muchos antecedentes y conjeturas sobre los números primos; no obstante, aquí sólo se mencionan aquellos aspectos más significativos relacionados con el tema que nos ocupa: el origen de la sucesión individual de los números primos.
La denominación de números primos y compuestos nos llegó desde la antigüedad y se debió al teorema fundamental de la aritmética (demostrado por Euclides alrededor del 300 a. C.) que establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden.
Es decir, mientras los números compuestos son productos de números primos, por ejemplo, 10 = 2(5) ó 15 = 3(5), los primos no son productos de ningún otro número, o sea, que no se pueden descomponer, por ello se denominan primarios (primos) y por tanto son considerados los elementos o “ladrillos” con los que se componen o construyen el resto de los números naturales. No obstante, esto no explica cómo se originan.
También desde la antigüedad nos llegó el primer método para encontrar números primos, la criba de Eratóstenes. Este hecho demuestra que desde entonces ya existía inquietud por desvelar la sucesión de los números primos, pero a su vez reafirma que no se conocía el origen de éstos, como tampoco, como predecir el próximo.


Estas inquietudes han permanecido hasta el presente, pues la incidencia individual de los números primos parecía obedecer únicamente a las leyes del azar; hecho por el cual su distribución individual continúa siendo un tema pendiente entre los teóricos.
Así, uno de los fenómenos que más llama la atención es que si disponemos de la lista de números primos, se observan con frecuencia diferencias importantes en la cantidad de primos que hay entre dos decenas consecutivas, por ejemplo, entre 90 y 100 únicamente hay un número primo, el 97; sin embargo, entre 100 y 110 hay cuatro (101, 103, 107, 109). Este tipo de comportamiento, en apariencia caótico, ocurre de forma permanente en la sucesión individual de los números primos, ¿el por qué ocurre esto? Es una de las respuestas contenidas en este artículo.
Debido a ese comportamiento “caótico”, se han desarrollado otros métodos más avanzados para obtener números primos (basados principalmente en los criterios de primalidad); no obstante, el único método infalible continúa siendo el de la división.
No obstante, estos métodos (primalidad, y luego divisibilidad), además de ser muy laboriosos (asociados a grandes gastos de tiempo y recursos, de los cuales todos quisiéramos librarnos de una vez y por siempre) no explican por qué n es un número primo, ni tampoco predicen dónde encontrar el próximo primo. Por ejemplo, con estos métodos no se puede responder por qué 23 no tiene otros divisores diferentes que no sean 1 y 23, ni predecir dónde estará el próximo número primo después de 23.
O sea, que estos métodos obtienen los números primos a través de un proceso de exclusión y ninguno de ellos nos desvela cual es la ley que determina el origen, el orden y la sucesión individual de estos números. En otras palabras, hasta ahora no se tenía explicación acerca del “aparente comportamiento azaroso” de la sucesión individual de los primos.


Si examinamos los planteamientos de algunos grandes matemáticos sobre esta cuestión, nos percatamos de la incertidumbre que existía desde hace mucho tiempo en cuanto a que algún día se pudiera encontrar una ley que explicara el orden y la sucesión individual de estos números. Así por ejemplo, Leonhard Euler (1707-1783), manifestó: “Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontrar algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos motivos para creer que es un misterio en el que la mente jamás penetrará”. Ello se debió a que, hasta ese momento, los estudios sobre los números primos siempre llevaron a la conclusión de que el comportamiento individual de éstos obedecía únicamente a las leyes del azar.


No obstante, el enfoque de Bernhard Riemann sobre la función zeta (en 1859), sirvió de orientación para que Hadamard y De la Vallée-Poussin (individualmente en 1896) demostraran el teorema de los números primos, lo que evidenció que la distribución “global” de los primos sigue leyes bien definidas. No obstante, su origen y sucesión “individual” continuó siendo un enigma asociado con las leyes del azar.
Este hecho se convirtió en una extravagancia, pues resulta poco comprensible que se pueda predecir la cantidad “global” de primos menores que un entero, mientras que al mismo tiempo sea imposible predecir el origen y el orden de la sucesión de cada número primo, que aparentemente continuaban siendo gobernados únicamente por el azar. Así el matemático inglés Godfrey H. Hardy dijo: “Cualquier tonto puede hacer preguntas sobre los números primos que el más sabio de los hombres sería incapaz de responder”.
Pasaba el tiempo y la contradicción entre la regularidad global y el imponente comportamiento caótico de la sucesión individual de los números primos se mantenía infranqueable, por lo que después de mucho trabajo, definitivamente llevó a Paul Erdös a señalar: “Puede que Dios no juegue a los dados con el universo, pero algo extraño está pasando con los números primos”.


Más tarde, en 1975, a pesar de los esfuerzos, todo continuaba prácticamente igual por lo que Don Zagier señaló: “Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que espero convencerles de forma tan incontestable que quedarán permanentemente grabados en sus corazones. El primero es que, a pesar de su definición simple y del papel que desempeñan como ladrillos con los que se construyen los números naturales, los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y no parecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede predecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es aún más asombroso, ya que dice justo lo contrario: que los números primos muestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar”.
O sea, si bien se conocía que el comportamiento “global” de los números primos sigue leyes bien definidas, el origen y sucesión “individual” continuó siendo un misterio.


En la actualidad, conocer la ley que gobierna el origen y la distribución individual de los números primos constituye, como en el pasado, uno de los objetivos más importantes de los matemáticos, pues ello serviría de fundamento para la creación del método que genere todos los números primos que se deseen sin tener que recurrir a los criterios de primalidad o divisibilidad.
Dado que la hipótesis de Riemann (uno de los siete problemas del milenio) refleja un patrón que aleja a los números primos del azar, este enfoque se convirtió en el instrumento más utilizado en la actualidad para la resolución de este enigma. No obstante, el presente artículo muestra que no es necesario verificar dicha hipótesis, al menos, para explicar el orden y la sucesión individual de los números primos.


Definiremos el problema a través de tres preguntas que se ha formulado la comunidad matemática a través de la historia:
1. ¿Cuál es el origen de los números primos?
2. ¿Es el azar ó es el orden lo que determina el comportamiento individual de los números primos?
3. ¿Dónde aparecerá el próximo número primo?


Mostrar el origen de los números primos, así como el patrón que determina el orden y la sucesión individual de estos números.


A partir de un conjunto de números se crearon varias bases de datos en la que los números naturales fueron analizados como variables independientes y dependientes. Después del análisis se crearon distintos modelos de predicción según el conocimiento adquirido y las nuevas propiedades desveladas.
En la simulación del conjunto de los naturales, se observó que cada número trasmuta continuamente en una serie numérica (empezando por el 1: 1+1=2 +1 =3, +1=4, etc.), por lo que existen infinitas series, no obstante, éstas comparten propiedades en la que los números primos ocupan espacios predecibles según el comportamiento de cada una de las series.
Esta investigación se realizó según los tres enfoques básicos que caracterizan a las matemáticas, propios también de toda disciplina científica. Enfoque explicativo (aquí se explica el origen de los números primos, así como el orden y la distribución individual de estos números). Enfoque retrodictivo (en esta comunicación se reproducen también resultados ya conocidos, pero obtenidos según las nuevas proposiciones). Enfoque predictivo (se muestra la eficacia de estos resultados para predecir el conjunto de los números primos a través de distintos procedimientos que se ejecutan bajo un mismo principio).


Dado que la mejor demostración es la que requiere la menor cantidad de axiomas, intentaremos mostrar estos resultados de la manera más elemental posible. Lo primero que haremos es revisar un comportamiento típico de los números naturales y que al parecer fue pasado por alto por Jacob y Johann Bernoulli (y también por los que les sucedieron) en el análisis del problema de Basilea.
A modo de introducción examinemos este comportamiento. En el conjunto de los naturales, cada número n se incrementa cada vez a si mismo en otros números k (k1, k2, k3…kn), por ejemplo, 1+1=2 +1=3 +1=4, etc., en el caso del 2: 2+2=4 +2=6 +2=8, etc., y así para cada número natural. Por el momento, es aconsejable que el lector se aleje de la supuesta simplicidad que aflora a partir de estas sencillas series numéricas.
Recordemos ahora que en el conjunto de los naturales un número compuesto sólo puede ser divisible por números menores que él. Por ejemplo, los divisores del 6 sólo pueden ser números menores que 6, en tal caso sus divisores son 1, 2 y 3; no obstante, 6 no es divisible por 4 ni 5 por una razón muy explícita que explicaremos a continuación.
Volvamos al comportamiento de las series de incremento de cada número natural. Como ya se dijo, cada número n se incrementa cada vez a si mismo en otros números k (k1, k2, k3…kn), por lo que n será divisor de cada nuevo número k, en otras palabras, un número natural n es divisor de otro número k si, y sólo si k se ubica a +n incrementos de n. Esto parece un trabalenguas, y quizás lo sea; por ello vamos a explicar este fenómeno a través de ejemplos con los números 1, 2, 3 y 4, adicionando un pequeño comentario en cada caso.


La serie de incremento del 1: 1+1=2 +1=3 +1=4 + 1=5 + 1=6 +1=7….., etc. Por esta razón todos los números (incluyendo a los primos) son divisibles por 1. Evitemos nuevamente la simplicidad de este enunciado, pues no lo es en absoluto. El 1 es el “ladrillo” fundamental, y no sólo porque su serie contiene a todos los números, sino por muchas otras razones (fuera del objetivo de esta comunicación).
La serie de incremento del 2: 2+2=4 +2=6 +2=8……, etc., entonces cada dos números naturales uno de ellos es divisible por 2 (nada nuevo). Los números que no estén a esta distancia o serie de incremento no serán divisibles por 2. Por ejemplo, 5, 7, 9, ni ningún otro número impar será divisible por 2, pues no están ubicados en esta serie numérica.
La serie de incremento del 3: 3+3=6 +3=9…., etc., entonces, cada tres números naturales uno de ellos es divisible por 3. Los números que no estén a esta distancia o en dicha serie, no serán divisibles por 3. Por ejemplo, 5 y 7 no son divisibles por 3 porque no están situados a la distancia correspondiente del 3. En cambio, 6, 9 y 12 son divisibles por 3 porque están situados a una distancia +3 que se corresponde con su secuencia o serie de incremento.
La serie de incremento del 4: 4+4=8 +4=12 +4=16….., etc., entonces, cada cuatro números naturales, uno de ellos es divisible por 4. Los números que no estén a esta distancia de +4 no serán divisibles por 4. Así, 5, 6 y 7 no son divisibles por 4 porque no están en la serie de incremento del 4. En cambio, 8, 12 y 16, si lo son.
Y así sucesivamente para todos los números naturales.


Por tanto, cuando un número natural esté ubicado en una posición que no corresponda con ningunas de las series de incremento +n de los números precedentes (excepto 1), entonces, dicho número natural no podrá tener ningún divisor, excepto el 1, en otras palabras, se originará un número primo.
Visto de este modo podemos establecer el siguiente enunciado: Un número natural será primo si, y sólo si está ubicado en una posición que no corresponda con la serie de +n incremento de los números que le preceden, excepto del 1. Por tanto, no es el azar lo que determina el origen, ni la sucesión individual de los números primos.


Ahora detengámonos aquí un instante, si cada 2 números naturales, uno de ellos es divisible por 2 (tales como 4, 6, 8, 10….), significa (como todos sabemos) que ningún número de esta serie mayor que 2 será primo; de igual modo, si cada tres números naturales, uno de ellos es divisible por 3, significa que en esta otra serie (3, 6, 9, 12, 15…) no habrá tampoco ningún número primo, pues todos ellos serán múltiplos de 3.
Visto así, después del 3, donde único quedaría sitio para que un número no tenga divisores (excepto el 1) sería exclusivamente en aquellos sitios alrededor de los números pares múltiplos de 3, es decir, en sitios ubicados una unidad por debajo o por encima de los números que conforman la serie del 6: 6+6=12 +6=18 +6=24 +6=30 +6…., etc. O sea, después del 3, donde único queda lugar para que se origine un número primo es alrededor de los números: 6, 12, 18, 24, 30…., etc.
Esta es la razón por la que surgen los primos gemelos 5 y 7 alrededor del 6 (pues, 5 y 7 están ubicados cada uno en una posición que no corresponde con ningunas de las series +n de 2, 3, 4, 5 y 6 que son, a parte del 1, los números naturales menores que 7 (es decir, sus únicos posibles divisores); esto mismo explica la existencia de los primos gemelos 11 y 13 alrededor del 12; al igual que 17 y 19 alrededor del 18. Desde luego, por debajo del par 24 observamos el primo 23 (porque no se encuentra en ninguna de las series de los primos precedentes), y por encima, al 25 que es un número compuesto, pues este último está a la distancia +5 o en la serie numérica del 5, por tanto, en dicha posición únicamente puede haber un número compuesto. Luego aparecen los primos gemelos 29 y 31 alrededor del par 30, pues dichas posiciones no pertenecen a ninguna serie de números primos precedentes.


Visto así, los números primos mayores que 3 sólo pueden estar ubicados en estos sitios puntuales alrededor de estos números pares (6, 12, 18, 24, 30…., etc.) múltiplos de 3 (son los sitios de los números primos), desde los cuales también cada uno de ellos originará su propia serie específica +n (o mejor dicho, +p) dando lugar, por un lado, a nuevos números compuestos (cuadrados perfectos cuando la cantidad de adiciones o incremento de la serie sea semejante a p, por ejemplo, cinco veces 5 es igual a 25; siete veces 7 es igual a 49, etc.) y, por el otro, compartiendo con las demás series otros números compuestos (números comunes múltiplos) que también ocupan estos sitios específicos según la serie que corresponda, para de este modo impedir que se forme una pareja de primos gemelos, tal como ocurre con el 25 y todos los demás números compuestos ubicados en estos sitios específicos.


Esto explica lo que ocurre en muchos tramos de los número naturales, tales como en la decena de 90 a 100, en la que los números pares múltiplos de 3 son el 90 y el 96. El 97 (el único primo de esta decena) es primo porque está ubicado en una posición que no corresponde con ningunas de las series numéricas +n de los primos que le preceden. Sin embargo, 91 es compuesto porque es un número común para dos series: las de los primos 7 y 13, así, (7+7=14 +7=21 +……. 84+7=”91” +7=98 +7=105 +7=112,); (13+13=26 +13=39 +……. 78+13=”91” + 13=104+ 13=117); o sea, el 91 es común múltiplo de 7 y 13. El 95 es compuesto porque está en las series de los números primos 5 y 19, es decir, (5+5=10 +5=15 +……90+5=”95” +5=100 +5=105 +5=110); (19+19=38 +19= 57 +19= 76 +19= “95” + 19= 114). Observe que a partir de 91 y 95, estas series vuelven a separarse, y después de 100 ningunas de ellas (incluyendo el resto de las series de los primos precedentes) coincide con 101, 103, 107, 109.


Entonces, la presencia de estos números comunes múltiplos de dos o más series numéricas +n en determinados tramos del conjunto de los naturales, es lo que ocasiona que en dichos tramos desaparezcan los números primos (como ocurre entre 90 y 100), pero a su vez, provoca que por delante de dichos tramos las series numéricas se vuelvan a separar, permitiendo la reaparición de las parejas de primos gemelos, tal como ocurre entre 100 y 110 donde se encuentran los primos gemelos 101, 103 y 107, 109, pues, como ya se dijo, a partir de los números comunes múltiplos (91 y 95), las series numéricas se separan con un incremento +n que “salta” los sitios específicos de de los primos ubicados entre 100 y 110.
Y dado que en el conjunto de los naturales, estas series siempre tendrán tramos específicos en los que ellas infinitamente coincidirán (en los números comunes múltiplos), lógicamente, por delante de dichos tramos las series siempre volverán a separarse “saltando” los sitios alrededor de los números pares múltiplos de 3, permitiendo cada vez la reaparición de los primos gemelos.


Para construir una función que genere números primos, debe tenerse en cuenta que, en primer lugar, el origen de “cada uno” de los números primos depende necesariamente de “todos los primos precedentes”. Así, el 97 es primo porque guarda una relación específica con los veinticuatro primos que le preceden; del mismo modo, 101, 103, 107 y 109 son primos como resultado de la distribución de las series de todos los primos que le preceden. Por tanto, el origen de números primos cada vez más grandes dependerá en este mismo sentido de una cantidad cada vez mayor de primos precedentes y de una distribución, aunque ordenada, siempre distinta. En otras palabras, los números primos sí tienen una distribución que responde a un orden preciso, pero este orden es continuamente diferente y obedece, cada vez, a una mayor cantidad de parámetros.


Todas las series contienen un elemento inicial a (el número a partir del cual se originan), y dos conjuntos de números comunes múltiplos separados por el cuadrado de a. Por debajo de este cuadrado se ubican los números comunes múltiplos de a y de los menores que a; mientras que por encima del cuadrado de a se encuentran los números comunes múltiplos de a y de los mayores que a. Excepto las series de los números primos 2 y 3, los cuadrados y los números comunes múltiplos de las series de los primos siempre se ubican una unidad por debajo o por encima de los números pares múltiplos de 3, o sea, en los mismos sitios donde se originan los primos. Esto es un aspecto importante a la hora de crear un algoritmo que genere números primos o para factorizar un número.


Dado que todos los primos mayores que 3 son impares, es muy simple demostrar que la serie de incremento de cada primo mayor que 3 pasará alternamente por un número par, por ejemplo, el 5 se incrementará en +5 del siguiente modo: 5, 10, 15, 20, 25, 30… etc. Y como ya sabemos que todos los números pares mayores que 2 son compuestos, entonces se desprende que en lugar de buscar a los primos en aquellos sitios en que no se cumpla una distancia +p en la serie de los primos precedentes, se infiere buscarlos en aquellos sitios donde no se cumpla una distancia +2p en cada serie.
Visto de este modo, podemos establecer el siguiente enunciado: Es primo todo número natural situado una unidad por debajo o por encima de un número par múltiplo de 3 y cuya posición no corresponda con un incremento +2p en las series de los primos precedentes.
A pesar de su simplicidad, este enunciado permite demostrar muchas conjeturas sobre los números primos, tales como la de los primos gemelos (a partir de 5 y 6), la conjetura de Legendre, las fórmulas de Mersenne, Euler, Gauss, Fermat y muchas otras.


Ahora es fácil contestar esta pregunta. Y no únicamente podemos predecir donde está el próximo, sino todos aquellos ubicados por debajo del cuadrado del primo sucesor, pues una vez conocido un nuevo número primo consecutivo en la sucesión, significa de hecho predecir sus sucesores.
Dado el último número primo p de la sucesión, serán también primos todos los números mayores que p (p1, p2, p3…pn) que no se encuentren en la serie numérica de p, ni de los primos precedentes y que sean menores que el cuadrado del número que surja inmediatamente después de p.
Por ejemplo, dado el primo 2, son también primos, 3, 5 y 7, pues, son los números mayores que 2 que no están en su serie numérica y que son menores que 9, el cuadrado de 3, que fue el número primo que surgió inmediatamente después del 2 como resultado de esta operación, o lo que es lo mismo, el sucesor del 2.
Otro ejemplo sencillo. Dado el número primo 3, serán también primos, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23, pues son los números mayores que 3 que no se encuentran en la serie numérica de 2 ni de 3 y son menores que 25 (el cuadrado de 5, que es el número primo que apareció como sucesor de 3).


Podemos optimizar esta ley de la siguiente forma. Para encontrar a los números primos en el conjunto de los naturales basta con ignorar a todos los números n situados a +n a partir del 2 (es decir a +2) y luego a los situados a + 2n a partir de los impares mayores que 1 que no queden excluidos.
Cada vez que se aplique esta ley a un número primo, se obtendrán todos los primos menores que el cuadrado del primo sucesor. Lo explicaremos a través de un ejemplo.
Supongamos que queremos saber cuales son los números primos entre 1 y 50. Bien, tomamos los naturales de 1-50:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50.


Ignorar a todos los números situados a +2 después del 2 (o sea, 4, 6, 8, 10, 12….50), pues pertenecen a la serie numérica de incremento del 2 y por tanto, son todos números compuestos. Hasta aquí quedarían como primos 2, 3, 5 y 7, pues son los números menores que el cuadrado del sucesor del 2, o sea, menores que 9 (3 al cuadrado) y que no pertenecen a la serie del 2.


Ignorar a los números situados a la distancia +2n a partir de los impares mayores que 1, o sea, a partir de 3. Así obtenemos que, 3(2)=6. Por tanto, al contar +6 a partir del 3 se desvela que debemos ignorar los números 9, 15, 21, 27, 33, 39 y 45. De modo que también son primos los números que no se encontraban a una distancia +2p de los números precedentes (excepto del 1) y que son menores que el cuadrado del sucesor del 3, es decir, menores que 25 (el cuadrado de 5). Ellos son: 11, 13, 17, 19 y 23.
Ahora el número primo sucesor es el 5, por tanto multiplicamos 2(5)=10, que indica que debemos ignorar a todos los números ubicados a +10 después del 5, es decir, 15, 25, 35 y 45. Por tanto, también son primos los números 29, 31, 37, 41, 43 y 47, pues no se encontraban a una distancia +2p de los primos precedentes (excepto del 1) y que son menores que 49, el cuadrado de 7, o sea, el sucesor del 5.
Así tenemos que el orden de la sucesión de los números primos menores que 50 es (se muestran entre paréntesis los primos gemelos):
2, (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), 23, (29, 31), 37, (41, 43), 47
Conocidas estas relaciones también se pueden diseñar otras estrategias mucho más eficientes para predecir donde encontrar a todos los primos que se deseen sin recurrir a los criterios de divisibilidad ó primalidad.


Se puede obtener una sucesión de números a partir de la fórmula 3np ± 1, (donde np se refiere a los números naturales pares, 2, 4, 6, 8….) ó con la fórmula 6n ± 1 (n se refiere a los naturales 1, 2, 3, 4…..) y luego ignorar a todos los números que se encuentren a una distancia +2p de cada número primo y de su cuadrado, el resto constituye el conjunto de los números primos mayores que 3.
Por ejemplo, supongamos que aplicamos la fórmula 6n ± 1 a todos los números naturales desde 1 hasta 20, tales como, 6(1) ± 1= 5 y 7; 6(2) ± 1= 11 y 13; 6(3) ± 1= 17 y 19…. 6(20) ± 1= 119 y 121. De este modo, obtendríamos la siguiente sucesión de números:
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 121.
Lo que hemos hecho aquí no es más que excluir del conjunto de los naturales a todos los números pares mayores que 2 y a todos los impares múltiplos de 3, pues ya sabemos que todos son compuestos, pues pertenecen a las series numéricas de 2 y 3, respectivamente. En otras palabras, hemos excluido las series numéricas 2 y 3. Por tanto, estamos trabajando únicamente sobre los sitios donde podrían ubicarse los números primos mayores que 3, por lo que con esta maniobra hemos creado un conjunto de números en el que la densidad de números primos es mucho mayor que en el conjunto de los naturales y cuyo comportamiento depende de una variable en particular (los interesados pueden comunicarse con el autor).
Dado que conocemos la ley que determina el origen de los números primos, podemos hacer los reajustes necesarios para predecir donde encontrarlos a todos en este nuevo conjunto. En el fondo es la misma ley pero lo que estamos haciendo es optimizando el método (un algoritmo más eficiente) para que nos reporte mayores beneficios. En esta variante, lo que hacemos es ignorar el cuadrado de p y todos los números ubicados a +2p después de p y de su cuadrado.
Así, en este nuevo conjunto, cada vez que se aplique la ley a un número primo p se predice donde estarán ubicados todos los primos menores que el cuadrado de p. Por lo que también en este conjunto, no sólo se predice donde estará ubicado el próximo primo, sino todos aquellos que son menores que el cuadrado p. Veámoslo en la práctica.


Volvamos al conjunto de números obtenido a través de la fórmula 6n ± 1, o sea:
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 121.
Reiteramos, aquí la ley nos guía del siguiente modo. Ignoramos el cuadrado de cada número n que perdure en el conjunto, así como todos los números ubicados a +2n después de cada n y de su cuadrado. Los números que no estén en tales sitios, constituyen el conjunto de los números primos mayores que 3.
Empezamos con el 5, 5(2)= 10, este resultado significa que se ignoran todos los números situados a +10 después del 5 y de su cuadrado (25), vea que los números ubicados a +10 después del 5 son: 35, 65 y 95; y los ubicados a +10 después de 25 son: 55, 85 y 115, por lo que todos estos números, incluido el 25, deben ser ignorados; entonces, por ahora podemos asegurar que son primos todos los números menores que el cuadrado de 5 (los menores que 25), es decir: 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23.
Luego aplicamos la ley al número 7, así, 7(2)= 14, lo que significa que ignoramos los números ubicados a +14 después del 7 y de su cuadrado 49 (estos son 49 y 91), con lo que podemos asegurar que también son primos todos los números menores que el cuadrado de 7 (menores que 49), o sea: 29, 31, 37, 41, 43 y 47. Observe que para el primo 7, la distancia 2p coincide con su cuadrado 49, esto tiene su explicación (por ahora fuera del alcance de los objetivos de esta comunicación).
Continuamos con el 11; multiplicamos 11(2)= 22, por tanto, ignoramos los números ubicados a +22 a partir del 11 y de su cuadrado (121), en tal situación únicamente podemos ignorar al 121 (el cuadrado de 11) y 77 (el único número situado a +22 después del 11). Al no disponer de los números mayores que 121, se concluye el proceso.
De modo que en este conjunto, los números primos menores que 121 son (se muestran entre paréntesis los primos gemelos): (5;7), (11;13), (17;19), 23, (29;31), 37, (41;43), 47, 53, (59;61), 67, (71;73), 79, 83, 89, 97, (101;103), (107;109), 113.


Observe la ventaja de estas relaciones a través de esta variante. Dado este algoritmo, es fácil comprender que a medida que se avanza sobre números más grande, prácticamente lo único que se observan son números primos, cada vez con menos esfuerzo. Mientras que en el conjunto de los naturales de entre 1 y 50 se predicen los primos menores que 49, en este último método en un conjunto de tan solo 40 números, a partir de los tres primeros (5, 7 y 11) se pudo predecir donde estaban ubicados todos los siguientes números primos menores que 121.
Veamos entonces una comparación del valor de π(n) entre el conjunto de los naturales y el conjunto derivado de la fórmula 6n ± 1, representado aquí como π(n-F), o sea, la cantidad de primos en distintos totales del conjunto derivado de la fórmula. Observe (Tabla 1, Figura 1) como aumenta extraordinariamente (línea roja) la cantidad de primos menores que un entero en el conjunto de números derivados de la fórmula.


Advierta (Tabla 1, Figura 1) que mientras en el conjunto de los naturales la cantidad de primos contenidos entre 1 y 50 es de 15, en el nuevo conjunto es de 34; del mismo modo, mientras que entre los primeros 1000 números naturales hay 168 números primos, entre los primeros 1000 números del nuevo conjunto existen 428, de ahí la diferencia que se observa en la Figura 1.
O sea, que tanto en el conjunto de los naturales como en aquel derivado de la fórmula, esta ley permite una predicción exponencial de números primos. Si bien con tan sólo tres números (5, 7 y 11; nos referimos a la última variante) se predice donde encontrar los siguientes números primos menores que 121, al aplicarla a los primeros 10 números primos, se predice donde localizar a todos los siguientes primos menores que 1 369, y con tan sólo investigar los 20 primeros números primos, se predice donde estarán situados todos los primos menores que 6 241.
De modo que un ligero aumento en la cantidad de cálculos se traduce en un incremento exponencial en la predicción de la cantidad de números primos, justamente lo contrario de lo que sucede con otros métodos de investigación de números primos. Además, todos estos resultados se obtienen sin necesidad de recurrir a criterios de primalidad o divisibilidad. No obstante, podemos aumentar aún más la predicción de números primos con un menor esfuerzo si diseñamos un algoritmo basado en las relaciones de los números cuadrados, los comunes múltiplos y la distancia de incremento +2p.
Dado que ya conocemos que los números compuestos no son más que números cuadrados ó comunes múltiplos de distintas series de números primos, en las que a excepción de las series del 2 y del 3, todos ellos se ubican una unidad por debajo o por encima de un número par múltiplo de 3 y como en todas las series existe un elemento inicial a y dos conjuntos de números comunes múltiplos separados por el cuadrado de a, donde por debajo de este cuadrado se ubican los números comunes múltiplos de a y de los menores que a, y por encima, los números comunes múltiplos de a y de los mayores que a, podemos entonces usar estos conocimientos para predecir todos los números primos mayores que 3 de una manera más eficiente.


Empezamos con la conformación del conjunto de números que ocupan los sitios específicos alrededor de los pares múltiplos de 3, que son como ya se dijo, los únicos sitios donde pueden ubicarse los números primos mayores que 3. En este conjunto con cada número que resulte primo hacemos lo siguiente: 1ro. Elevar al cuadrado, 2do. Multiplicarlo por su sucesor en el conjunto (sea primo ó compuesto) y 3ro. Multiplicarlo por 2, este resultado (2p) hace posible ignorar el resto de los números asociados a la serie de este número. Como esto permite identificar donde están los comunes múltiplos de este número y de sus primos sucesores, entonces con ello se consigue predecir todos los números primos que están por debajo del cuadrado del primo sucesor.
Volvamos al ejemplo anterior en que aplicamos la fórmula 6n ± 1 desde 1 hasta 20 y en el que se obtiene el siguiente conjunto:
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 121.
Empezamos con el 5. Paso 1: Elevar 5 al cuadrado. 5(5)= 25 (son primos todos los menores que 25). Paso 2: Multiplicar el 5 por su sucesor en el conjunto: 5(7)= 35 (son primos los menores que 35). Paso 3: Multiplicar por 2: 5(2)= 10, que indica que debemos ignorar a todos los números ubicados a + 10 a partir de 25 y 35 y hasta el fin del conjunto (por tanto, hasta ahora podemos asegurar que son primos todos aquellos números menores que el cuadrado del primo sucesor de 5, o sea menores que 49, el cuadrado de 7). Es decir, que al procesar al 5 en este conjunto, obtenemos como números primos a: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47.
Proseguimos con el primo sucesor del 5, o sea, el 7. Paso 1: Elevar 7 al cuadrado. 7(7)= 49 (ya sabemos cuales son los primos menores que 49). Paso 2: Multiplicar el 7 por su sucesor en el conjunto: 7(11)= 77. Paso 3: Multiplicar por 2: 7(2)= 14 que indica que debemos ignorar a todos los números ubicados a + 14 a partir de 49 y 77 y hasta el fin del conjunto (ahora podemos asegurar que son primos todos aquellos que son menores que el cuadrado del primo sucesor del 7, o sea menores que 121, el cuadrado de 11), tales números son: 53, 59; 61, 67, 71; 73, 79, 83, 89, 97, 101; 103, 107; 109, 113. Para ver una explicación más exhaustiva de este método, visitar la página: http://transmultiversalidad.es.tl/La-soluci%F3n-de-los-n%FAmeros-primos.htm
Es decir, que si nos apoyamos en las relaciones entre el cuadrado de cada número primo, sus comunes múltiplos y el patrón de incremento +2p, podemos determinar el orden de la sucesión individual de los números primos a través de un algoritmo mucho más eficiente. Vea que con tan sólo procesar dos números, 5 y 7, se obtienen todos los primos menores que 121.
No obstante, podemos todavía disminuir la cantidad de trabajo. Por ejemplo, ya que sabemos que todos los números mayores que 5 que terminan en esta misma cifra son múltiplos de 5, es permitido ignorar en el conjunto anterior todos estos números sin tener que procesar el 5, y de este modo habremos realizado más de la mitad del trabajo independientemente del tamaño del conjunto que analicemos, porque la serie del 5 es la que más múltiplos tiene en cualquier conjunto de este tipo, pues en dicho conjunto, 5 es el primo más pequeño.
Finalmente, es posible diseñar otro método para predecir todos los primos sin tener en cuenta los números cuadrados, los comunes múltiplos ó la distancia de incremento +2p, además de explicar otras curiosidades de los números primos, tales como el origen de los primos de Euclides (p# + 1), los primos omirps, capicúa, repunit, permutables, truncables, las espirales de primos, etc. No obstante, para ello habría que introducir un nuevo tipo de operación matemática que permite calcular los resultados de una relación que al parecer ha permanecido oculta o desapercibida hasta nuestros días y que sin dudas, hace más elemental el estudio de muchos problemas dentro y fuera de las matemáticas.
Puede reproducir este artículo en otros sitios siempre que refiera la fuente.
Publicado en: http://transmultiversalidad-tmv.es.tl/El-origen-de-los-n%FAmeros-primos.htm